Hallar la SL para las siguientes ecuaciones
1)
tn=(4n²+n-2)/6^(2n)
Aplicando el criterio HECH para suma límite formular
SL=4SLf(n²/6^(2n)) +SLf(n/6^(2n)) - 2SLf(1/6^(2n))
SL=4*6²(6²+1)/(6²-1)³ + 6²/(6²-1)² - 2*1/(6²-1)
SL=(4*36*37+36*35-2*35²)/35³
SL=4138/42875
2)
tn=(n+2)³ /4^n
desarrollando el cubo del binomio
tn=(n³+6n²+12n+8)/4^n
Aplicando el criterio HECH para suma límite formular
SL=SLf(n³/4^n) +6SLf(n²/4^n) +12SLf(n/4^n) +8SLf(1/4^n)
SL=4(4²+4*4+1)/(4-1)^4 +6*4(4+1)/(4-1)³ +12* 4/(4-1)² + 8*1/(4-1)
SL=(132+360+432+216)/81
SL=1140/81........................................SL=380/27
martes, 19 de diciembre de 2017
SERIES ESPECIALES HECH ARTIMÉTICA+GEOMÉTRICA
Sea:
1 + 2 +5+ 14 +..........................
1 2 5 14
1 3 9
*3 *3
tn=a3^(n-1)+b........................1
hallando a ;b
por la tabla de las constantes universales
f e d c b a kn
1 1 1 1 1 1 k1
1 3 7 15 31 k2
2 12 50 180 k3
6 60 390 k4
24 360 k5
120 k6
como se trata de una serie geométrica de primer grado aritmética + geométrica, tomamos dos valores de la tabla
1 1 k1
1 k2
ahora suplantamos el 1 inferior por las potencias de la razón disminuida en 1, es decir
rg=3............rg-1=2 y sustituimos sus respectivos k
b a kn
1 1 1
2 1
2a=1...........................a=1/2
b+a=1.........................b=1/2
reemplazando valores en la ecuación 1
tn=1/2*3^(n-1) + 1/2=1/6*3^n+1/2
aplicando Sn (usando la primera forma)
Sn=(1/2)*(3^n-1)/(3-1) +(1/2)n
Sn=(3^(n-1))/4 + n/2
calculamos un tn y un Sn cualquiera como comprobación
t4=1/6*3^4+1/2=14 lo cual es correcto
S4=(3^4-1))/4 + 4/2
S4=80/4+2 =22 lo cual es correcto
por lo tanto cada vez que queramos desarrollar series aritméticas+geométricas usamos las constantes universales de las series aritméticas de n grado con su respectiva sustitución para la razón geométrica
2)Dada la siguiente serie hallar tn y Sn, luego t5 y S6
2 8 18 40
6 10 22
4 12
*3
Es una serie de segundo grado aritmética +geométrica luego tiene la siguiente ecuación general
tn=a*3^(n-1) + bn +c.................................................2
Sn=a*(3^n-1)/(3-1) + b*n*(n+1)/2 +cn........................3
haciendo uso de la tabla de constantes universales para tres coeficientes
c b a kn
1 1 1 2
1 2 6
4 4
he suplantado el 3 y 2 por las potencias de 3-1=2 , es decir 2^1=2 y 2^2=4
ahora resolvemos
4a=4.............................a=1
b+2a=6
b=6-2......................b=4
c=2-4-1...................c=-3
reemplazando en 2 y en 3
tn=3^(n-1) + 4n -3
Sn=(3^n-1)/2 + 4*n*(n+1)/2 -3n.
t5=3^(5-1) + 4*5 -3 =98
s6=(3^6-1)/2 + 4*6*(6+1)/2 -3*6 =430
comprobando a pulso
2 8 18 40 98 264
6 10 22 58 166
4 12 36 108
*3 *3 *3
t5=98 correcto
s6=2+8+18+40+98+264=430 correcto
Finalmente cualquier serie aritmética geométrica puede desarrollarse por el método condensado de tabla de constantes y el criterio de la razón
Nota: Las constantes las pude hallar por casualidad , no conociendo que existían, al usar el método inversivo de las ecuaciones, que más adelante detallaré, y el criterio de la razón de igual manera probando series y verificando con las ecuaciones directas , finalmente por inducción logré establecer el criterio de la razón para cualquier serie de grado n
3) Obtener el tn y el Sn para la serie siguiente ( queda como desafío).Deben completar los valores que siguen, considerando que los datos dados son suficientes para hallar el tn y Sn.Una pista es hacer el desarrollo con las ecuaciones 2 y 3 que son generalizadas para rg=3, ahora deben considerar rg=4
2
5
8
10
*4
hallar el t4 y el S5
Sea:
1 + 2 +5
1 2 5 14
1 3 9
*3 *3
tn=a3^(n-1)+b........................1
hallando a ;b
por la tabla de las constantes universales
f e d c b a kn
1 1 1 1 1 1 k1
1 3 7 15 31 k2
2 12 50 180 k3
6 60 390 k4
24 360 k5
120 k6
como se trata de una serie geométrica de primer grado aritmética + geométrica, tomamos dos valores de la tabla
1 1 k1
1 k2
ahora suplantamos el 1 inferior por las potencias de la razón disminuida en 1, es decir
rg=3............rg-1=2 y sustituimos sus respectivos k
b a kn
1 1 1
2 1
2a=1...........................a=1/2
b+a=1.........................b=1/2
reemplazando valores en la ecuación 1
tn=1/2*3^(n-1) + 1/2=1/6*3^n+1/2
aplicando Sn (usando la primera forma)
Sn=(1/2)*(3^n-1)/(3-1) +(1/2)n
Sn=(3^(n-1))/4 + n/2
calculamos un tn y un Sn cualquiera como comprobación
t4=1/6*3^4+1/2=14 lo cual es correcto
S4=(3^4-1))/4 + 4/2
S4=80/4+2 =22 lo cual es correcto
por lo tanto cada vez que queramos desarrollar series aritméticas+geométricas usamos las constantes universales de las series aritméticas de n grado con su respectiva sustitución para la razón geométrica
2)Dada la siguiente serie hallar tn y Sn, luego t5 y S6
2 8 18 40
6 10 22
4 12
*3
Es una serie de segundo grado aritmética +geométrica luego tiene la siguiente ecuación general
tn=a*3^(n-1) + bn +c.................................................2
Sn=a*(3^n-1)/(3-1) + b*n*(n+1)/2 +cn........................3
haciendo uso de la tabla de constantes universales para tres coeficientes
c b a kn
1 1 1 2
1 2 6
4 4
he suplantado el 3 y 2 por las potencias de 3-1=2 , es decir 2^1=2 y 2^2=4
ahora resolvemos
4a=4.............................a=1
b+2a=6
b=6-2......................b=4
c=2-4-1...................c=-3
reemplazando en 2 y en 3
tn=3^(n-1) + 4n -3
Sn=(3^n-1)/2 + 4*n*(n+1)/2 -3n.
t5=3^(5-1) + 4*5 -3 =98
s6=(3^6-1)/2 + 4*6*(6+1)/2 -3*6 =430
comprobando a pulso
2 8 18 40 98 264
6 10 22 58 166
4 12 36 108
*3 *3 *3
t5=98 correcto
s6=2+8+18+40+98+264=430 correcto
Finalmente cualquier serie aritmética geométrica puede desarrollarse por el método condensado de tabla de constantes y el criterio de la razón
Nota: Las constantes las pude hallar por casualidad , no conociendo que existían, al usar el método inversivo de las ecuaciones, que más adelante detallaré, y el criterio de la razón de igual manera probando series y verificando con las ecuaciones directas , finalmente por inducción logré establecer el criterio de la razón para cualquier serie de grado n
3) Obtener el tn y el Sn para la serie siguiente ( queda como desafío).Deben completar los valores que siguen, considerando que los datos dados son suficientes para hallar el tn y Sn.Una pista es hacer el desarrollo con las ecuaciones 2 y 3 que son generalizadas para rg=3, ahora deben considerar rg=4
2
5
8
10
*4
hallar el t4 y el S5
1)En una librería se adquieren 3 cuadernos tamaño oficio y una
mochila por $85.
La mochila cuesta 4veces más que el doble del lote de los 3
cuadernos
Cuál es el precio de casas cosa?
Cuadernos:c
Mochila:m
3c+m=85………………………1
Un doble lote de
cuadernos =2*3c=6c
aplicando la teoría universal de "n veces más"
m=4(6c)+6c=5(6c)
m=30c…………………….2
reemplazando 2 en 1
3c+30c=85
33c=85
c=85/33
……….c=$ 2,576
reemplazando en 2: m=30*2,576=$77,28
o reemplazando en 1:
m=85-3*2,57
m=85-7,72…………….m=$77,28
Luego la mochila cuesta :$77,28
Y un cuaderno : $2,576
Nota: 6c=15,456 "cuatro veces más" equivale a "5 veces"
15, 456 +4(15,456)=5(15,456)=77,28
que es el precio de la mochila
2)En una construcción hay 376 ladrillos en tres pilas. La
segunda tiene 24 ladrillos mas que la primera; la tercera, dos veces mas que la
segunda. Considera n como el número de ladrillos ¿Cuantos ladrillos hay en cada
pila?
número de ladrillos: n=376
pila 1: a
pila 2 : 24+a .............................
pila 3 : 2(24+a)+(24+a)=3(24+a)=72+3a................................
luego sumando las tres pilas
a+24+a+72+3a=376
5a+96=376
5a=376-96
5a=280..................a=56............b=80................c=240
en la pila 1 hay 56 ladrillos
en la pila 2 hay 80 ladrillos
en la pila 3 hay 240 ladrillos
comprobación
pila 2=56+24=80
pila 3=3(80)=240 porque "dos veces más "equivale a "3 veces"
Recordando lo estudiado hasta aquí:
La teoría universal del "n veces" y el "n
veces más" un número es claro:
ene veces un número =
nN.................................................1
n veces más ese número =N+nN=N(1+n)...........................2
Si te dicen:Alberto tiene 4veces mas timbres que Judith y
7veces mas que Sofia. Si Alberto posee 504 timbres ¿Cuantos timbres tiene en
total los tres niños?
Alberto:x
Judith:y
Sofía:z
x=y(1+4)=5y
.........a
usando la ecuación universal 2
x=z(1+7)=8z.
........b usando
la ecuación universal 2
x=504........................c
de las ecuaciones a ,
b y c se desprende una conclusión importantísima:
que el número de timbres de Sofía y Judith dependen de lo que tenga Alberto y
por lo tanto lo que tenga Alberto debe ser múltiplo de 5 y de 8 a la vez, es decir múltiplo de 40. Veamos si
esto es cierto
504/40=12,6
No lo es de 40, entonces no lo es de 5, pero sí de 8.
504/8=63
Conclusión se puede plantear las tres ecuaciones pero, una
de ellas no dará un resultado exacto de timbres, y la otra sí
504/5=100,8
Matemáticamente podemos obtener respuestas pero en la
realidad no podemos aceptar que haya timbres partidos en decimales o
fracciones. Por último el problema fue planteado bien pero con un dato
equivocado. El número de timbres que posea Alberto debe ser múltiplo de 40, por
ejemplo:480; 520; 560, etc
Si fuera 520 entonces las respuestas serían:
y=520/5 =104
z=520/8=65
sumando todo:520+104+65=689 timbres entre los tres
lunes, 18 de diciembre de 2017
SERIES INFINITAS : SUMA LÍMITE DADA LA SERIE
1)
1/4^3+1/4^6+1/4^9.........................
A=4^3.........................SL=1/(4^3-1)...................SL=1/63
existe un solo numerador constante
razones de los exponentes de los denominadores
3 6 9..................
3
diferencia : 3-3=0, por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
2)
1//4^3+2/4^6+3/4^9.......................
A=4^3........................SL=1/(4^3-1) + 1/(4^3-1)².....................SL=64/3969
donde los numeradores 1 se obtienen así
1 2 3 4
1
son los primeros valores
razones de los exponentes de los denominadores
3 6
3
diferencia : 3-3=0 , por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
3)3/7^1 + 5/7^4+7/7^7+9/7^10
razones de los numeradores
3 5 7...
2
razones de los exponentes de los denominadores
1 4
3
diferencia : 1-3=-2 sube al numerador como 7^2 multiplicando
SL=(3*7^2)/(7^3-1) + ( 2*7^2)/(7^3-1)²
SL=147/342+98/342²=50372/116964=12593/29241
Luego la ecuación universal que domina las series sin tener ecuación n es:
SL=a1*A^(DH)/(A^n-1)+r1*A^(DH)/(A^n-1)^2+r2*A^(DH)/(A^n-1)^3+..........rn-1*(A^(DH)/(A^n-1)^n..........1
donde :
a1:primer término de la serie del numerador
r;r1;r2;....r(n-1): primeras diferencias o razones de la serie del numerador
DH: la segunda diferencia de los exponentes de los exponentes de A
A: base del denominador que es elevado una potencia llamada exponente
Esta ecuación de series infinitas es complementaria con las halladas anteriormente, pues mientras las ecuaciones formulares están en función de la ecuación A^n , esta fórmula sólo necesita de los términos que la conforman
Cualquiera que sea la situación ambas se verifican entre ellas porque deben dar el mismo resultado
Lo comprobaremos con una serie muy conocida
1)método en función de los términos (método 2)
1/10+2/10^2+3/10^3+....................................
A=10........................SL=1/(10-1) + 1/(10-1)².....................SL=10/81
donde los numeradores 1 se obtienen así
1 2 3 4..........................
1
son los primeros valores
razones de los exponentes de los denominadores
1 2 3.............................
1
diferencia :1-1=0 , por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
2)método en función de la ecuación tn (método 1)
para el numerador
1 2 3 4..........................
1 ..............................................tn=n
para el denominador (exponentes)
1 2 3.............................
1
tn=n
entonces tn=n/10^n..................SL= A/(A-1)^2
A=10 SL=10/81
En conclusión ambos resultados comprueban que los dos métodos pueden usarse de acuerdo al gusto del estudiante
Recomiendo el método 2 para aquellas series complejas de tercer ,cuarto y quinto grado, para series comunes de primer hasta tercer grado el método 1 es lo más recomendable
1)
1/4^3+1/4^6+1/4^9.........................
A=4^3.........................SL=1/(4^3-1)...................SL=1/63
existe un solo numerador constante
razones de los exponentes de los denominadores
3 6 9..................
3
diferencia : 3-3=0, por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
2)
1//4^3+2/4^6+3/4^9.......................
A=4^3........................SL=1/(4^3-1) + 1/(4^3-1)².....................SL=64/3969
donde los numeradores 1 se obtienen así
1 2 3 4
1
son los primeros valores
razones de los exponentes de los denominadores
3 6
3
diferencia : 3-3=0 , por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
3)3/7^1 + 5/7^4+7/7^7+9/7^10
razones de los numeradores
3 5 7...
2
razones de los exponentes de los denominadores
1 4
3
diferencia : 1-3=-2 sube al numerador como 7^2 multiplicando
SL=(3*7^2)/(7^3-1) + ( 2*7^2)/(7^3-1)²
SL=147/342+98/342²=50372/116964=12593/29241
Luego la ecuación universal que domina las series sin tener ecuación n es:
SL=a1*A^(DH)/(A^n-1)+r1*A^(DH)/(A^n-1)^2+r2*A^(DH)/(A^n-1)^3+..........rn-1*(A^(DH)/(A^n-1)^n..........1
donde :
a1:primer término de la serie del numerador
r;r1;r2;....r(n-1): primeras diferencias o razones de la serie del numerador
DH: la segunda diferencia de los exponentes de los exponentes de A
A: base del denominador que es elevado una potencia llamada exponente
Esta ecuación de series infinitas es complementaria con las halladas anteriormente, pues mientras las ecuaciones formulares están en función de la ecuación A^n , esta fórmula sólo necesita de los términos que la conforman
Cualquiera que sea la situación ambas se verifican entre ellas porque deben dar el mismo resultado
Lo comprobaremos con una serie muy conocida
1)método en función de los términos (método 2)
1/10+2/10^2+3/10^3+....................................
A=10........................SL=1/(10-1) + 1/(10-1)².....................SL=10/81
donde los numeradores 1 se obtienen así
1 2 3 4..........................
1
son los primeros valores
razones de los exponentes de los denominadores
1 2 3.............................
1
diferencia :1-1=0 , por lo tanto no se multiplica nada en el numerador
2)método en función de la ecuación tn (método 1)
para el numerador
1 2 3 4..........................
1 ..............................................tn=n
para el denominador (exponentes)
1 2 3.............................
1
tn=n
entonces tn=n/10^n..................SL= A/(A-1)^2
A=10 SL=10/81
En conclusión ambos resultados comprueban que los dos métodos pueden usarse de acuerdo al gusto del estudiante
Recomiendo el método 2 para aquellas series complejas de tercer ,cuarto y quinto grado, para series comunes de primer hasta tercer grado el método 1 es lo más recomendable
SERIE LÍMITE: las ecuaciones universales HECH
Sean las series siguientes:
1/A^n
n/A^n
n^2/A^n
n^3/A^n
n^4/A^n
n^5/A^n
Es decir de la forma:n^n/A^n
sus respectivas sumas límites son:
1/A^n....................SL=1/(A-1)
n/A^n SL=A/(A-1)^2
n^2/A^n SL=A(A+1)/(A-1)^3
n^3/A^n SL=A(A^2 +4A+1)/(A-1)^4
n^4/A^n SL=A(A^3 +11A^2+11A+1)/(A-1)^5
n^5/A^n SL=A(A^4 +26A^3+66A^2+ 26A+1)/(A-1)^6
Donde A: es cualquier potencia enésima
ejemplo
A=5^2n
1/5^2n..................SL=1/(5^2-1)=1/24
LA DIFERENCIA ENTRE "Nveces" Y "N veces más"
La matemática me apasiona , y como tal me ha llevado a defender mis teorías matemáticas en muchas ocasiones , y esta no es la excepción.
Estaba de vacaciones( trabajo como independiente) y de pronto me dije: qué hacer mientras no hago trabajos de construcción civil.Como profesor tenía alumnos pero no 20 o 30 así que debía aprovechar mi tiempo libre
Me inscribí en una página y comencé a responder la mayor cantidad de preguntas posibles , al ritmo que mi cerebro lo permitiera. Hasta allí todo bien, preguntas van y vienen , algunas respuestas mías corregidas por cálculos numéricos erróneos , pero todo bien, aceptando la corrección pertinente.
Hasta que llegó una parte de la pregunta que decía:"cuesta
4 veces más que el doble de"; y más adelante otra pregunta muy similar:"la tercera, dos veces mas que la segunda"
Lo cierto que hasta ese momento pensé que el idioma español era uno sólo en todo américa hispana, y que lo que se dice debe respetarse como tal.
Y claro yo razono como la mayoría de los negociantes peruanos hechos en la calle, soy de Cañete, y mis padres cultivan manzanas y muchas veces vendieron sus productos y dominaron el léxico sin prestarle atención como un "gran dilema" matemático.Así como los dueños de bodegas que no se hacen problema alguno
Bien, fui a mi vecina, dueña de una bodega y le di 20 soles y le pregunté
a)¿cuánto es el doble de ese dinero? .Sin dudar un segundo respondió 40 soles
b) y luego la pregunta del millón: ¿y cuánto es dos veces más?. Volvió a responder sin titubear: 60 soles
Creo que puedo decir que nos se necesita ir a la universidad para responder con coherencia y autenticidad, sin tratar de maquillar respuestas
Esta señora me demostró que sin seguir cursos universitarios ni regentar aulas virtuales, ni tener un canal en las redes sociales sabe mucho más que ciertas personas que dizque son preparadas para orientar a otros
En resumen sustentó mi teoría de que lo que se aprende bien de niño prevalece hasta el final. La felicité y volví a la computadora para escribir acerca de este tema que confunde a muchos alumnos y profesores del mundo hispano.
"No es lo mismo dos veces que dos veces más, ni cuatro veces que cuatro veces más."
Sea:N: una cantidad de soles , metros, años, objetos, etc,
Sea n: un número entero cualquiera mayor e igual que dos
definimos entonces
2N: doble del número o dos veces el número
3N: triple del número o tres veces el número
4N: cuádruple del número o cuatro veces el número
y podemos generalizar para .
nN: énuplo del número o ene veces el número
N+2N=3N: dos veces más el número
N+3N=4N;tres veces más el número
N+4N=5N;cuatro veces más el número
y generalizando
N+nN: ene veces más el número
Comprobando primero lo que me respondió la bodeguera :
2(20soles)=40 correctamente razonada
20+2(20)=60 una respuesta muy acertada
Y ahora volviendo a las famosas preguntas de admisión y de grado secundario que a diario preguntan a los alumnos
1)
"cuesta 4 veces más que el doble de..." equivale decir entonces :
sea de :x
doble :2x
4 veces más que ese 2x
se supone que 2x es mi N, luego:
2x+4(2x)=5(2x)=10x
2)
"la tercera, dos veces mas que la segunda"
segunda:y
tercera:z
por definición generalizada sería:
z=y+2y=3y
Con esto quiero dejar en claro que el razonamiento es universal y funciona en todas partes del mundo, que muchos lo ignoren no es un problema, porque para eso se sustenta una ecuación matemática, pero que sin sustentación quieran desconocerla entonces la ignorancia se vuelve en necedad, y discutir con una persona necia es perder tiempo. Espero que puedan comentar y dar sus opiniones con base matemática , la cual hablará por la persona
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